Resolver la inecuación (x + 1)(x + 3) ≥ (x − 2)(x − 4).

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrollar antes de decidir qué clase de inecuación es esta. Un producto en cada lado sugiere una inecuación cuadrática que necesitaría tabla de signos, pero eso no se sabe hasta desarrollar los dos lados. No hay que caer en la tentación de comparar los factores directamente: $(x+1)\ge(x-2)$ y $(x+3)\ge(x-4)$ serían un argumento distinto (y no válido).

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   Desarrollar cada lado multiplicando los binomios.

   $(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$

   $(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$

   así que la inecuación queda

   $x^2+4x+3\ge x^2-6x+8$

3. 3

   Restar $x^2$ en ambos lados: esta es la simplificación clave. Los dos lados tienen exactamente el mismo término principal, así que se cancela y la inecuación se vuelve lineal:

   $4x+3\ge -6x+8$

   Ni tabla de signos, ni puntos críticos, ni parábola: el carácter cuadrático era una ilusión.

4. 4

   Agrupar y despejar $x$. Sumar $6x$, restar $3$ y dividir entre el positivo $10$:

   $10x+3\ge 8\ \Longrightarrow\ 10x\ge 5\ \Longrightarrow\ x\ge\frac12$

   Como $10>0$ se conserva el sentido del $\ge$, y el extremo queda incluido porque la desigualdad original no era estricta.

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   Enunciar la respuesta y comprobar la frontera. El conjunto solución es $\left[\tfrac12,\infty\right)$. En $x=\tfrac12$: izquierda $=\tfrac32\cdot\tfrac72=\tfrac{21}{4}$ y derecha $=\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac72\right)=\tfrac{21}{4}$ — iguales, así que $\tfrac12$ pertenece al conjunto. En $x=0$: izquierda $=3$, derecha $=8$, y $3\ge 8$ es falso, lo que confirma que los valores por debajo de $\tfrac12$ no sirven.