Sea P(x) un polinomio de grado 4 con P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) = 9, P(4) = 13 y P(5) = 1. Determinar la suma de las raíces de P(x).

Step-by-step solution

1. 1

   Buscar un patrón en los valores dados antes de hacer álgebra. Las primeras cuatro salidas $1,5,9,13$ aumentan de $4$ en $4$, así que están sobre la recta

   $L(x)=4x-3$

   ya que $4(1)-3=1$, $4(2)-3=5$, $4(3)-3=9$, $4(4)-3=13$. Solo el quinto valor, $P(5)=1$, rompe el patrón (la recta predeciría $17$).

2. 2

   Restar el patrón para fabricar raíces conocidas. Se define

   $Q(x)=P(x)-(4x-3)$

   Entonces $Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0$. Restar un polinomio de grado $1$ no puede alterar el término principal de grado $4$, así que $Q$ sigue siendo de cuarto grado — y un polinomio de cuarto grado con cuatro raíces conocidas queda completamente determinado salvo una constante:

   $Q(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),\qquad a\neq 0$

3. 3

   Escribir $P$ de forma explícita. Deshaciendo la resta,

   $P(x)=4x-3+a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

   Esta única fórmula ya codifica cuatro de las cinco condiciones; la quinta servirá para determinar $a$.

4. 4

   Usar $P(5)=1$ para hallar $a$. Sustituyendo $x=5$:

   $1=4(5)-3+a(4)(3)(2)(1)=17+24a$

   $24a=-16\qquad\Longrightarrow\qquad a=-\frac{2}{3}$

5. 5

   Aplicar la fórmula de Vieta y observar cómo se cancela $a$. Para $P(x)=Ax^4+Bx^3+\dots$ la suma de las raíces es $-\dfrac{B}{A}$. Desarrollando solo los dos términos de mayor grado,

   $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^4-(1+2+3+4)x^3+\cdots=x^4-10x^3+\cdots$

   de donde $A=a$ y $B=-10a$ (el sumando $4x-3$ no afecta a ninguno de esos dos coeficientes). Por lo tanto

   $-\frac{B}{A}=-\frac{-10a}{a}=10$

   El valor de $a$ se simplifica. Calcular $a=-\tfrac{2}{3}$ sirvió de comprobación, pero la respuesta solo necesitaba $a\neq 0$, algo garantizado porque $P$ tiene grado $4$.

6. 6

   Enunciar la respuesta. Las cuatro raíces de $P$ suman

   $\boxed{10}$

   Comprobación con el polinomio explícito $P(x)=-\tfrac{2}{3}x^4+\tfrac{20}{3}x^3-\tfrac{70}{3}x^2+\tfrac{112}{3}x-19$: reproduce los cinco valores dados y $-\tfrac{20/3}{-2/3}=10$.