Alguien compró bolígrafos por un total de 240. Si con el mismo dinero hubiera comprado un bolígrafo más, cada uno habría costado en promedio 1 menos. ¿Cuántos bolígrafos compró?

Step-by-step solution

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   Elegir la incógnita que hace fáciles de escribir los precios. Sea $x$ el número de bolígrafos realmente comprados. Entonces el precio medio real es

   $\frac{240}{x}$

   Elegir la cantidad y no el precio como incógnita es lo que mantiene el álgebra en una sola variable.

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   Expresar el precio hipotético. Con un bolígrafo más por el mismo dinero, la cantidad es $x + 1$ y el precio pasa a ser

   $\frac{240}{x+1}$

   Más bolígrafos por el mismo total significa un precio unitario menor, así que esta segunda expresión es la más pequeña de las dos.

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   Convertir la comparación en una ecuación. El precio hipotético es $1$ menor que el precio real, así que el precio real menos el precio hipotético es igual a $1$:

   $\frac{240}{x} - \frac{240}{x+1} = 1$

   Plantear esta resta en el orden correcto importa: invertirla da $-1$ y ninguna solución positiva.

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   Combinar las fracciones y eliminar los denominadores.

   $240\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) = 240 \cdot \frac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \frac{240}{x(x+1)} = 1$

   de modo que

   $x(x+1) = 240 \ \Longrightarrow \ x^2 + x - 240 = 0$

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   Factorizar y resolver la ecuación de segundo grado. Dos números que multiplicados dan $-240$ y sumados dan $1$ son $16$ y $-15$:

   $x^2 + 16x - 15x - 240 = x(x+16) - 15(x+16) = (x+16)(x-15) = 0$

   $x = -16 \quad \text{o} \quad x = 15$

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   Descartar la raíz imposible y comprobar. Un número de bolígrafos no puede ser negativo, así que se descarta $x = -16$ y queda $x = 15$. Contrastando con el enunciado: $240/15 = 16$ por bolígrafo y, con uno más, $240/16 = 15$ por bolígrafo, exactamente $1$ menos. Así que se compraron 15 bolígrafos.