El conjunto solución de a(x - 4)² + b < 10 es k - 8 < x < 2k + 1. Halla k.

Step-by-step solution

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   Localiza el eje de simetría. La expresión $a(x-4)^2+b$ está en forma de vértice: su gráfica es una parábola cuyo vértice está en $x=4$, y es simétrica respecto de la recta vertical $x=4$. Nada de lo que valgan $a$ o $b$ cambia esa recta.

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   Argumenta que el intervalo debe estar centrado en el eje. El conjunto solución es acotado (un intervalo, no una unión de dos semirrectas), lo que obliga a que $a>0$: una parábola que abre hacia arriba baja por debajo de la recta horizontal $y=10$ en un solo intervalo. Sus dos puntos frontera son donde $a(x-4)^2+b=10$, es decir $(x-4)^2=\frac{10-b}{a}$, de modo que son $x=4\pm\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$: equidistantes de 4. Por lo tanto, el punto medio del intervalo solución es exactamente $4$.

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   Iguala a 4 el punto medio del intervalo dado.

   $\frac{(k-8)+(2k+1)}{2}=4\quad\Rightarrow\quad \frac{3k-7}{2}=4\quad\Rightarrow\quad 3k-7=8$

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   Despeja $k$.

   $3k=15\quad\Rightarrow\quad k=5$

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   Verifica el intervalo y comprueba que no es degenerado. Con $k=5$ los extremos son $k-8=-3$ y $2k+1=11$, así que el conjunto solución es $-3<x<11$; su punto medio es $\frac{-3+11}{2}=4$ ✓, que coincide con el eje. El intervalo además es genuinamente no vacío ($-3<11$), como debe serlo todo conjunto solución válido.

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   Observa qué determinan y qué no determinan los datos. La semiamplitud es $11-4=7$, así que $49a+b=10$, es decir $b=10-49a$. Cualquier $a>0$ acompañado de ese $b$ produce el mismo intervalo — de modo que $k=5$ queda determinado de manera única aunque $a$ y $b$ por separado no lo estén.