Resolver la inecuación (x − 4)/3 < (2x − 1)/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Multiplicar por el m.c.d. 6 en lugar de multiplicar en cruz a ciegas. Con una sola fracción a cada lado, la multiplicación en cruz resulta tentadora, pero solo es segura cuando se conocen los signos de los denominadores. Aquí ambos denominadores son las constantes positivas $3$ y $2$, así que multiplicar ambos lados por $6$ es legítimo y conserva el sentido de $<$.

2. 2

   Eliminar los denominadores.

   $6\cdot\frac{x-4}{3}<6\cdot\frac{2x-1}{2}\ \Longrightarrow\ 2(x-4)<3(2x-1)$

   Cada numerador debe seguir entre paréntesis: escribir $2x-4$ en lugar de $2(x-4)$ cambiaría el término independiente.

3. 3

   Desarrollar ambos lados.

   $2x-8<6x-3$

4. 4

   Agrupar los términos manteniendo positivo el coeficiente de $x$. Se resta $2x$ en ambos lados y después se suma $3$:

   $-8<4x-3\ \Longrightarrow\ -5<4x$

   Si en cambio se hubiera restado $6x$, saldría $-4x<5$ y luego habría que dividir entre $-4$ e invertir el signo: la misma respuesta, con más riesgo.

5. 5

   Dividir entre 4 y dejar la respuesta exacta.

   $-\frac{5}{4}<x\ \Longrightarrow\ x>-\frac54,\qquad\text{es decir, }\left(-\tfrac54,\infty\right)$

   Conviene dejarlo como $-\tfrac54$; escribir $-1.25$ es correcto numéricamente, pero un conjunto solución debe contener fracciones exactas.

6. 6

   Verificar el extremo. En $x=-\tfrac54$: la izquierda vale $=\dfrac{-\frac54-4}{3}=\dfrac{-\frac{21}{4}}{3}=-\dfrac74$ y la derecha, $=\dfrac{2(-\frac54)-1}{2}=\dfrac{-\frac72}{2}=-\dfrac74$. Ambos lados coinciden, así que $-\tfrac54$ es la frontera exacta y queda correctamente excluida.