Simplificar (∛a + ∛b) dividido entre (2 + la raíz cúbica de a/b + la raíz cúbica de b/a).

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituir para ocultar los radicales. Se toma

   $x=\sqrt[3]{a},\qquad y=\sqrt[3]{b},$

   de modo que $\sqrt[3]{a/b}=x/y$ y $\sqrt[3]{b/a}=y/x$. La expresión se vuelve puramente racional en $x$ e $y$:

   $\frac{x+y}{2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}.$

   Esta sustitución es el corazón del problema: unas raíces cúbicas que parecían inconexas no son más que $x$ e $y$.

2. 2

   Poner el denominador sobre $xy$.

   $2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{2xy+x^{2}+y^{2}}{xy}.$

3. 3

   Reconocer que el numerador de esa fracción es un cuadrado. Como $x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$,

   $2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{(x+y)^{2}}{xy}.$

   El mismo factor $x+y$ que está arriba en la expresión original ha aparecido ahora elevado al cuadrado abajo — y eso es lo que hace posible la cancelación.

4. 4

   Dividir invirtiendo la fracción.

   $\frac{x+y}{\dfrac{(x+y)^{2}}{xy}}=(x+y)\cdot\frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{xy}{x+y}.$

5. 5

   Volver a las variables originales y comprobar. Con $xy=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$ y $x+y=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$,

   $\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}},$

   válida siempre que $a\ne0$, $b\ne0$ y $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\ne0$. Probando con $a=8$, $b=27$: $x=2$, $y=3$, el denominador original vale $2+\tfrac23+\tfrac32=\tfrac{25}{6}$ y el numerador vale $5$, lo que da $6/5$; la fórmula da $xy/(x+y)=6/5$ también.