Halla A si 5 log x − 4 log(x² + 1) + 5 log(x − 1) = log A.

Step-by-step solution

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   Mete cada coeficiente dentro como exponente. La regla de la potencia $k\log M=\log\left(M^k\right)$ se aplica a cada término:

   $5\log x=\log\left(x^5\right),\qquad 5\log(x-1)=\log\left((x-1)^5\right),\qquad -4\log\left(x^2+1\right)=\log\left(\left(x^2+1\right)^{-4}\right)$

   El coeficiente siempre pasa a ser exponente de todo el argumento, así que $(x^2+1)^{-4}$, nunca $x^{-8}+1$.

2. 2

   Convierte los logaritmos que se suman en un producto. Por $\log M+\log N=\log(MN)$, los tres términos se combinan en uno:

   $\log\left(x^5\left(x^2+1\right)^{-4}(x-1)^5\right)=\log A$

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   Reescribe el exponente negativo como denominador. Como $M^{-4}=\dfrac{1}{M^{4}}$, el logaritmo que se resta se convierte en una división, que es la regla del cociente $\log M-\log N=\log\frac MN$ vista desde el otro lado:

   $A=\frac{x^5(x-1)^5}{\left(x^2+1\right)^4}$

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   Cancela los logaritmos de forma legítima. $\log$ es inyectiva, así que $\log P=\log Q$ obliga a $P=Q$ siempre que los dos sean positivos. Eso da directamente el valor de $A$, sin necesidad de exponenciar.

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   Indica el dominio, que la condensación amplía sin avisar. El lado izquierdo original exige $x>0$ y $x-1>0$, así que $x>1$. La fórmula condensada aceptaría de buena gana, por ejemplo, $x=0.5$, donde $A>0$ pero $\log(x-1)$ no está definido. Lleva siempre $x>1$ junto con la respuesta.

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   Comprueba en un valor cómodo. En $x=2$: el lado izquierdo vale $5\log 2-4\log 5+5\log 1=1.50515-2.79588+0=-1.29073$. La fórmula da $A=\dfrac{32\cdot 1}{625}=0.0512$ y $\log 0.0512=-1.29073$ ✓.