Si x/y = 2/3, halla el valor de (3x² − 2xy + 5y²)/(5x² − 3xy + 3y²).

Step-by-step solution

1. 1

   Observa que la expresión es homogénea de grado 2. Todos los términos de arriba y de abajo tienen grado total $2$ en $x$ y $y$. Eso significa que el valor depende solo de la razón $x:y$ y no de los tamaños individuales — que es exactamente la razón por la que una sola razón es información suficiente.

2. 2

   Parametriza la razón. De $\dfrac xy=\dfrac23$, escribe

   $x=2k,\qquad y=3k\qquad(k\neq 0)$

   Usar directamente $x=2$, $y=3$ también funciona; el parámetro $k$ solo hace visible la cancelación.

3. 3

   Calcula el numerador.

   $3(2k)^{2}-2(2k)(3k)+5(3k)^{2}=12k^{2}-12k^{2}+45k^{2}=45k^{2}$

4. 4

   Calcula el denominador.

   $5(2k)^{2}-3(2k)(3k)+3(3k)^{2}=20k^{2}-18k^{2}+27k^{2}=29k^{2}$

5. 5

   Divide y cancela.

   $\frac{45k^{2}}{29k^{2}}=\frac{45}{29}$

   $\boxed{\dfrac{45}{29}}$

6. 6

   Comprueba con otro par en la misma razón. Toma $x=4$, $y=6$ (sigue siendo $2:3$): numerador $=48-48+180=180$, denominador $=80-72+108=116$, y $\tfrac{180}{116}=\tfrac{45}{29}$ ✓ — lo que confirma que la respuesta depende realmente solo de la razón.

7. 7

   Ruta alternativa: divide todo entre y². Escribiendo $r=\tfrac xy=\tfrac23$, la expresión vale $\dfrac{3r^{2}-2r+5}{5r^{2}-3r+3}=\dfrac{\tfrac{12}{9}-\tfrac43+5}{\tfrac{20}{9}-2+3}=\dfrac{5}{\tfrac{29}{9}}=\dfrac{45}{29}$ — el mismo valor por un camino más corto.