Factoriza x² - x + 1, sobre los reales si es posible y, si no, sobre los números complejos.

Step-by-step solution

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   Calcula el discriminante para resolver el caso real. Con $a=1$, $b=-1$, $c=1$:

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4(1)(1)=1-4=-3$

   Como $\Delta<0$, la cuadrática no tiene raíces reales, así que es irreducible sobre $\mathbb{R}$ — no existe ninguna pareja de factores lineales reales, y buscar parejas de factores enteros de $1$ es inútil.

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   Halla las raíces complejas con la fórmula general.

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

   Las dos raíces son complejas conjugadas, como debe ocurrir en un polinomio de coeficientes reales.

3. 3

   Escribe la factorización sobre $\mathbb{C}$. Una cuadrática mónica es igual al producto de los $(x-\text{raíz})$ sobre sus raíces:

   $x^{2}-x+1=\left(x-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)$

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   Verifica multiplicando de vuelta. El producto es $x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}$. La suma de las raíces es $\dfrac{1+i\sqrt3}{2}+\dfrac{1-i\sqrt3}{2}=1$ ✓ y el producto es $\dfrac{1^{2}-\left(i\sqrt3\right)^{2}}{4}=\dfrac{1+3}{4}=1$ ✓, lo que da exactamente $x^{2}-x+1$. Sustituir cualquiera de las dos raíces deja un residuo por debajo de $10^{-14}$ ✓.

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   Observa la alternativa real y la identidad que hay detrás. Completar el cuadrado da la forma real $x^{2}-x+1=\left(x-\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34$, que muestra el valor mínimo $\tfrac34>0$ — una demostración independiente de que nunca se anula. Las raíces son además las raíces sextas primitivas de la unidad, lo que refleja la identidad $x^{2}-x+1=\dfrac{x^{3}+1}{x+1}$.