Usa la división sintética para dividir 2t² − t − 15 entre t − 1. Indica el cociente y el resto.

Step-by-step solution

1. 1

   Confirma que el divisor tiene la forma adecuada. La división sintética necesita un divisor mónico y lineal; $t-1$ es ambas cosas, así que $c=1$. El dividendo puede llevar cualquier coeficiente principal: el $2$ de $2t^2$ no causa ningún problema, simplemente pasa a ser el coeficiente principal del cociente. La fila de coeficientes es

   $2,\;-1,\;-15$

2. 2

   Predice el resto. Por el teorema del resto, la última columna debe salir igual al valor del polinomio en $t=1$:

   $f(1)=2(1)^2-1-15=2-16=-14$

   Hacer esto primero convierte la tabla en una confirmación en lugar de en una apuesta.

3. 3

   Ejecuta el ciclo de multiplicar y sumar con $c=1$.

   $\begin{array}{r|rrr}1 & 2 & -1 & -15\\ & & 2 & 1\\ \hline & 2 & 1 & -14\end{array}$

   Baja el $2$; $2\cdot 1=2$ y $-1+2=1$; $1\cdot 1=1$ y $-15+1=-14$.

4. 4

   Lee un cociente lineal. Una cuadrática dividida entre un divisor lineal deja un cociente lineal, así que las dos primeras entradas de la fila inferior son el cociente y la última es el resto:

   $\text{cociente}=2t+1,\qquad \text{resto}=-14$

5. 5

   Verifica e interpreta. Escrito sin fracciones,

   $2t^2-t-15=(t-1)(2t+1)-14$

   y al desarrollar se obtiene $(t-1)(2t+1)=2t^2+t-2t-1=2t^2-t-1$, de modo que restar $14$ da $2t^2-t-15\;\checkmark$. Como el resto no es nulo, $t=1$ no es raíz; la factorización verdadera es $2t^2-t-15=(2t+5)(t-3)$, con raíces $t=3$ y $t=-\tfrac52$.