Resuelve la inecuación (x − 1)/2 < (7x + 2)/5 y da la solución en notación de intervalos.

Step-by-step solution

1. 1

   Multiplica por el común denominador, revisando antes su signo. Los denominadores $2$ y $5$ dan un común denominador de $10$. Como $10>0$, multiplicar ambos lados deja intacta la dirección de la desigualdad: la dirección solo se invierte al multiplicar o dividir por un número negativo:

   $10\cdot\frac{x-1}{2}<10\cdot\frac{7x+2}{5}\;\Longrightarrow\;5(x-1)<2(7x+2).$

2. 2

   Desarrolla los dos productos. Distribuyendo con cuidado:

   $5(x-1)=5x-5,\qquad 2(7x+2)=14x+4,$

   así que la inecuación queda

   $5x-5<14x+4.$

   Multiplicar «en diagonal» sin escribir el paso del común denominador es donde muchos estudiantes emparejan el numerador equivocado con el denominador equivocado; escribir explícitamente la línea de multiplicar por 10 lo evita.

3. 3

   Pasa los términos en $x$ al lado del coeficiente mayor. Restar $5x$ a ambos lados mantiene positivo el coeficiente de $x$:

   $-5<9x+4.$

   La alternativa, restar $14x$, deja $-9x-5<4$ y obliga a dividir entre $-9$, con la inversión de signo que hay que recordar. Elegir la dirección que evita un coeficiente negativo elimina toda una clase de errores.

4. 4

   Aísla $x$. Resta $4$ y luego divide entre el número positivo $9$:

   $-9<9x\;\Longrightarrow\;-1<x,\qquad\text{es decir}\qquad x>-1.$

   En notación de intervalos, el conjunto solución es $(-1,\infty)$; el extremo queda excluido porque la desigualdad original es estricta.

5. 5

   Verifica alrededor de la frontera. En $x=-0.9$: izquierda $=\frac{-1.9}{2}=-0.95$, derecha $=\frac{-4.3}{5}=-0.86$, y $-0.95<-0.86$ ✓. En $x=-1.1$: izquierda $=-1.05$, derecha $=\frac{-5.7}{5}=-1.14$, así que la desigualdad falla ✓. En $x=-1$ ambos lados valen $-1$, lo que confirma la frontera.