Resuelve x⁴ − 24x² − 25 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce el patrón bicuadrado. Solo aparecen potencias pares de $x$, así que el cambio de variable

   $t=x^{2}\quad(\text{con }t\ge 0\text{ para todo }x)$

   convierte una cuártica en una cuadrática. Anotar ya la restricción $t\ge 0$ —el cuadrado de un número real nunca es negativo— es lo que hace automático el descarte posterior.

2. 2

   Reescribe y resuelve la cuadrática en t.

   $t^{2}-24t-25=0\quad\Longrightarrow\quad (t-25)(t+1)=0$

   (La pareja con producto $-25$ y suma $-24$ es $-25$ y $1$.) Por lo tanto $t=25$ o $t=-1$.

3. 3

   Descarta el valor inadmisible. $t=x^{2}$ no puede ser negativo para $x$ real, así que $t=-1$ no aporta ninguna solución real.

4. 4

   Deshaz el cambio con el valor admisible.

   $x^{2}=25\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 5$

   $\boxed{x=5\ \text{o}\ x=-5}$

5. 5

   Comprueba ambas raíces. En $x=5$: $625-24(25)-25=625-600-25=0$ ✓. En $x=-5$ sale lo mismo, porque solo intervienen potencias pares ✓.

6. 6

   Observa la factorización completa. $x^{4}-24x^{2}-25=\left(x^{2}-25\right)\left(x^{2}+1\right)=(x-5)(x+5)\left(x^{2}+1\right)$. La cuártica tiene cuatro raíces en total — $\pm 5$ reales y $\pm i$ complejas — conviene decirlo si el enunciado pide todas las raíces y no solo las reales.