Resolver 7(x + 1/x) − 2(x² + 1/x²) = 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la simetría recíproca. La ecuación no cambia si se reemplaza $x$ por $\tfrac1x$, y esa es la señal para hacer el cambio de variable

   $t=x+\frac1x$

   Observa que $x=0$ queda excluido del dominio desde el principio.

2. 2

   Expresa el segundo paréntesis en términos de t. Elevando al cuadrado el cambio de variable:

   $t^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$

   El doble producto que aporta el $+2$ es el detalle que más fácilmente se pasa por alto.

3. 3

   Reescribe y ordena la ecuación.

   $7t-2\left(t^{2}-2\right)=9\ \Longrightarrow\ 7t-2t^{2}+4=9\ \Longrightarrow\ 2t^{2}-7t+5=0$

4. 4

   Resuelve para t.

   $(2t-5)(t-1)=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac52\ \text{o}\ t=1$

5. 5

   Deshaz el cambio para cada valor de t. Para $t=\tfrac52$:

   $x+\frac1x=\frac52\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-5x+2=0\ \Longrightarrow\ (2x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=\tfrac12\ \text{o}\ x=2$

   Para $t=1$:

   $x+\frac1x=1\ \Longrightarrow\ x^{2}-x+1=0$

   cuyo discriminante es $1-4=-3<0$: no hay soluciones reales. Ese rechazo es forzoso, porque para $x\neq 0$ real la cantidad $x+\tfrac1x$ siempre cumple $|t|\ge 2$, y $t=1$ lo viola.

   $\boxed{x=2\ \text{o}\ x=\tfrac12}$

6. 6

   Comprueba ambas raíces. En $x=2$: $x+\tfrac1x=2.5$ y $x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$, así que $7(2.5)-2(4.25)=17.5-8.5=9$ ✓. En $x=\tfrac12$ esas dos cantidades toman los mismos valores (por la simetría recíproca), de modo que la comprobación sale idéntica ✓.