Usa la división sintética para dividir x³ + 3x² − 6x − 8 entre x − 1. Indica el cociente y el resto, y di si x − 1 es factor.

Step-by-step solution

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   Prepara la tabla con $c=1$. De $x-1=x-(1)$, el valor de la esquina es $c=1$, y la fila de coeficientes es

   $1,\;3,\;-6,\;-8$

   Antes de dividir, predice el resto con el teorema del resto: $f(1)=1+3-6-8=-10$. Conocer la respuesta de antemano convierte la tabla en una comprobación y no en un salto de fe.

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   Realiza la pasada de multiplicar y sumar. Con $c=1$ las multiplicaciones son triviales, lo que hace de este un buen caso para ver el mecanismo:

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 1 & 3 & -6 & -8\\ & & 1 & 4 & -2\\ \hline & 1 & 4 & -2 & -10\end{array}$

   Baja el $1$; $1\cdot 1=1$ y $3+1=4$; $4\cdot 1=4$ y $-6+4=-2$; $-2\cdot 1=-2$ y $-8+(-2)=-10$.

3. 3

   Separa la fila inferior en cociente y resto. La entrada final $-10$ es el resto; las tres primeras son los coeficientes de un cociente de grado $2$:

   $\text{cociente}=x^2+4x-2,\qquad \text{resto}=-10$

   Coincide con el $f(1)=-10$ previsto, así que la aritmética es correcta.

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   Escribe el enunciado de la división. Cualquier división de polinomios se puede registrar de dos formas equivalentes: como expresión mixta o como identidad de producto más resto:

   $\frac{x^3+3x^2-6x-8}{x-1}=x^2+4x-2-\frac{10}{x-1}$

   $x^3+3x^2-6x-8=(x-1)(x^2+4x-2)-10$

   La segunda forma es la que conviene verificar, porque no lleva fracciones.

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   Responde a la pregunta del factor y confírmalo. Como el resto es $-10\ne 0$, el teorema del factor dice que $x-1$ no es factor y que $x=1$ no es raíz. Desarrollar la identidad confirma ambos números:

   $(x-1)(x^2+4x-2)=x^3+4x^2-2x-x^2-4x+2=x^3+3x^2-6x+2$

   y $x^3+3x^2-6x+2-10=x^3+3x^2-6x-8\;\checkmark$. Si hicieran falta raíces de verdad, habría que probar con los divisores de $8$; aquí $f(1)\ne 0$ simplemente descarta $x=1$.