Resuelve la desigualdad (2/5)^x < √((4/25)^((3x + 2)/x)).

Step-by-step solution

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   Enuncia primero el dominio. El exponente $\frac{3x+2}{x}$ no está definido en $x=0$, así que $x\ne 0$ es una restricción permanente. Todo lo demás está definido para cualquier $x$ real, ya que una base positiva elevada a cualquier potencia real es positiva.

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   Escribe los dos miembros con la misma base. Fíjate en que $\frac{4}{25}=\left(\frac{2}{5}\right)^2$, así que la raíz cuadrada cancela el cuadrado:

   $\sqrt{\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac{3x+2}{x}}}=\left[\left(\tfrac{2}{5}\right)^{2\cdot\frac{3x+2}{x}}\right]^{1/2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

   La desigualdad se convierte en una comparación pura de exponentes sobre la misma base:

   $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}<\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

3. 3

   Invierte la desigualdad porque la base es menor que 1. La función $t\mapsto\left(\frac25\right)^t$ es decreciente, así que un valor más pequeño corresponde a un exponente mayor:

   $x>\frac{3x+2}{x}$

   Olvidar esta inversión es, con diferencia, el error más común en las inecuaciones exponenciales con base fraccionaria.

4. 4

   Pasa todo a un lado — nunca multipliques por $x$. Multiplicar en cruz por $x$ obligaría a separar casos según el signo de $x$; restar es más seguro:

   $x-\frac{3x+2}{x}>0\;\Longleftrightarrow\;\frac{x^2-3x-2}{x}>0$

5. 5

   Halla los puntos críticos y construye la tabla de signos. El numerador se anula cuando $x^2-3x-2=0$, es decir

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\approx-0.5616\ \text{y}\ 3.5616$

   Junto con el cero del denominador, los puntos críticos en orden son $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$, $0$, $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$. Probando un punto en cada uno de los cuatro intervalos se obtienen los signos $-,\;+,\;-,\;+$.

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   Escribe el conjunto solución y compruébalo por puntos. El cociente es positivo en

   $x\in\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\,0\right)\cup\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\,+\infty\right)$

   Comprueba $x=-0.4$: primer miembro $0.4^{-0.4}\approx1.44$, segundo miembro $0.4^{(3(-0.4)+2)/(-0.4)}=0.4^{-2}=6.25$ — la desigualdad se cumple. Comprueba $x=1$: $0.4<0.4^{5}=0.01$ es falso, tal como predice la tabla.