Resolver la desigualdad (x + 2)/4 − x/5 > 1 y dar la solución en notación de intervalos.

Step-by-step solution

1. 1

   Hallar el común denominador y multiplicar todo. Los denominadores $4$ y $5$ son coprimos, así que el mínimo común denominador es $20$. Multiplicando cada término — incluido el $1$ solitario de la derecha — por el número positivo $20$:

   $20\cdot\frac{x+2}{4}-20\cdot\frac{x}{5}>20\cdot 1\;\Longrightarrow\;5(x+2)-4x>20.$

   Olvidarse de multiplicar el miembro derecho es el error clásico; dejaría $5(x+2)-4x>1$ y correría la respuesta en $19$.

2. 2

   Desarrollar el paréntesis. Distribuyendo el $5$:

   $5x+10-4x>20.$

   Solo el primer término lleva paréntesis, así que hay una única distribución — pero el $+10$ que sale de $5\times 2$ es la parte que termina controlando la respuesta.

3. 3

   Reducir términos semejantes. Los dos términos en $x$ casi se cancelan:

   $5x-4x=x,\qquad\text{de modo que}\qquad x+10>20.$

   Un coeficiente igual a $1$ es buena señal de que la aritmética va bien — proviene de $\tfrac14-\tfrac15=\tfrac{1}{20}$ multiplicado por $20$.

4. 4

   Despejar $x$. Restando $10$ en ambos miembros (una operación que nunca cambia el sentido de la desigualdad):

   $x>10.$

   En notación de intervalos el conjunto solución es $(10,\infty)$, con $10$ excluido porque la desigualdad es estricta.

5. 5

   Probar alrededor de la frontera. En $x=10.4$: $\frac{12.4}{4}-\frac{10.4}{5}=3.1-2.08=1.02>1$ ✓. En $x=9.6$: $\frac{11.6}{4}-\frac{9.6}{5}=2.9-1.92=0.98$, que no es $>1$ ✓. En $x=10$ el miembro izquierdo vale exactamente $3-2=1$, lo que confirma la frontera.