Factoriza la expresión x²/9 menos el cuadrado de (2x/3 − m)/4.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce que los dos términos son cuadrados perfectos. El primero es $\dfrac{x^2}{9}=\left(\dfrac{x}{3}\right)^2$ porque $9=3^2$; el segundo ya está escrito como un cuadrado. Así que con

   $a=\frac{x}{3},\qquad b=\frac{\frac23x-m}{4}$

   la expresión es exactamente $a^2-b^2$. Desarrollar primero también funcionaría, pero genera fracciones con denominadores $9$ y $16$ sin ninguna necesidad.

2. 2

   Simplifica $b$ antes de aplicar la identidad. Separando el numerador,

   $b=\frac{\frac23x}{4}-\frac{m}{4}=\frac{x}{6}-\frac{m}{4}$

   Dividir $\tfrac23x$ entre $4$ da $\tfrac{x}{6}$, no $\tfrac{x}{12}$: un descuido aritmético frecuente.

3. 3

   Aplica $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ y simplifica cada factor.

   $a-b=\frac{x}{3}-\frac{x}{6}+\frac{m}{4}=\frac{x}{6}+\frac{m}{4}=\frac{2x+3m}{12}$

   $a+b=\frac{x}{3}+\frac{x}{6}-\frac{m}{4}=\frac{x}{2}-\frac{m}{4}=\frac{2x-m}{4}$

4. 4

   Multiplica los dos factores.

   $\frac{2x+3m}{12}\cdot\frac{2x-m}{4}=\frac{(2x+3m)(2x-m)}{48}$

5. 5

   Comprueba numéricamente. En $x=3$, $m=1$: la expresión original es $\tfrac99-\left(\tfrac{2-1}{4}\right)^2=1-\tfrac1{16}=0.9375$; la forma factorizada da $\tfrac{(6+3)(6-1)}{48}=\tfrac{45}{48}=0.9375$ ✓. En $x=-2$, $m=5$: original $=\tfrac49-\left(\tfrac{-4/3-5}{4}\right)^2=0.4444-2.5069=-2.0625$; factorizada $=\tfrac{(-4+15)(-4-5)}{48}=\tfrac{-99}{48}=-2.0625$ ✓.