Usa la división sintética para dividir x³ − 4x² + x + 6 entre x + 1 y después factoriza el polinomio cúbico por completo.

Step-by-step solution

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   Convierte $x+1$ a la forma $x-c$. El número de la esquina en la división sintética es siempre el cero del divisor, así que reescribe el divisor antes de empezar:

   $x+1=x-(-1)\;\Longrightarrow\; c=-1$

   Usar $+1$ aquí es con diferencia el error más común con este tipo de divisor. El teorema del resto sirve de red de seguridad: lo que produzca la tabla debe ser igual a $f(-1)=-1-4-1+6=0$.

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   Enumera los coeficientes. En $x^3-4x^2+x+6$ aparecen las cuatro potencias, así que la fila superior es

   $1,\;-4,\;1,\;6$

   Mantén los signos pegados a los coeficientes y no a las operaciones; llevar la cuenta de los signos es justamente lo que la tabla automatiza por ti.

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   Multiplica por $-1$ y suma, columna a columna.

   $\begin{array}{r|rrrr}-1 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & -1 & 5 & -6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0\end{array}$

   Paso a paso: $1\cdot(-1)=-1$ y $-4+(-1)=-5$; luego $-5\cdot(-1)=5$ y $1+5=6$; luego $6\cdot(-1)=-6$ y $6+(-6)=0$. Multiplicar por un $c$ negativo hace que la fila intermedia alterne de signo, lo que sirve de comprobación visual.

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   Lee el cociente y el resto. Rebajando un grado, la fila inferior $1,-5,6,0$ significa

   $\text{cociente}=x^2-5x+6,\qquad \text{resto}=0$

   de modo que $x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)$.

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   Factoriza el cociente cuadrático para terminar. El cociente $x^2-5x+6$ necesita dos números de producto $6$ y suma $-5$, a saber $-2$ y $-3$:

   $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

   Por tanto, la factorización completa y las raíces son

   $x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3),\qquad x=-1,\,2,\,3$

   Comprueba el término independiente: $(1)(-2)(-3)=6\;\checkmark$, que coincide con el $+6$ del polinomio cúbico original.