Calcula el determinante de la matriz 3x3 cuyas filas son (9,2,2), (28,8,8) y (18,5,4).

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en el factor común de la fila 2. Todas las entradas de $(28,8,8)$ son divisibles por $4$. Escalar una fila por $k$ escala el determinante por $k$, así que

   $\det=4\begin{vmatrix}9&2&2\\7&2&2\\18&5&4\end{vmatrix}$

   Esto mantiene pequeña la aritmética, un hábito importante en cuanto las entradas se hacen grandes.

2. 2

   Simplifica todavía más con una operación entre filas. Restar la fila $2$ de la fila $1$ (lo cual no cambia el determinante) deja

   $4\begin{vmatrix}2&0&0\\7&2&2\\18&5&4\end{vmatrix}$

   ya que la segunda y la tercera entrada de las dos filas son $2,2$.

3. 3

   Desarrolla por la nueva primera fila. Solo la entrada $2$ de la posición $(1,1)$ es distinta de cero, con signo de cofactor $+$:

   $4\cdot 2\begin{vmatrix}2&2\\5&4\end{vmatrix}=8(8-10)=8(-2)=-16$

   $\boxed{-16}$

4. 4

   Verifica con el desarrollo directo por cofactores sobre la matriz original.

   $9(8\cdot 4-8\cdot 5)-2(28\cdot 4-8\cdot 18)+2(28\cdot 5-8\cdot 18)$

   $=9(32-40)-2(112-144)+2(140-144)=-72+64-8=-16$

   Los dos caminos coinciden.

5. 5

   Compara con el problema vecino. Cambiar solo la fila central de $(27,7,7)$ a $(28,8,8)$ mueve el determinante de $-9$ a $-16$. Los determinantes son muy sensibles a cambios pequeños en las entradas, y por eso las colecciones de examen presentan a menudo matrices casi idénticas: cada una hay que calcularla desde cero.