Dos ciclistas recorren cada uno 120 km. El primero va 3 km/h más rápido que el segundo y termina 2 horas antes. Halla ambas velocidades.

Step-by-step solution

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   Monta una tabla con una sola incógnita. Sea $x$ la velocidad del segundo ciclista en km/h; entonces el primero va a $x+3$. El tiempo es la distancia entre la velocidad:

   ciclista	velocidad (km/h)	distancia (km)	tiempo (h)
   segundo	$x$	$120$	$\dfrac{120}{x}$
   primero	$x+3$	$120$	$\dfrac{120}{x+3}$

   Físicamente $x>0$, y el tiempo del ciclista más lento es el mayor de los dos.

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   Convierte la diferencia de tiempos en una ecuación. El primer ciclista tarda $2$ horas menos, así que resta el tiempo menor del mayor:

   $\frac{120}{x}-\frac{120}{x+3}=2$

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   Quita los denominadores. Multiplica ambos miembros por $x(x+3)$, que no es cero para $x>0$:

   $120(x+3)-120x=2x(x+3)$

   El miembro izquierdo se derrumba porque los términos $120x$ se cancelan:

   $360=2x^{2}+6x$

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   Reduce a la forma cuadrática estándar. Divide entre $2$ y pasa todo a un solo miembro:

   $x^{2}+3x-180=0$

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   Resuelve y descarta la raíz que no sirve. El discriminante es $D=3^{2}+4(180)=729$ con $\sqrt{D}=27$, de modo que

   $x=\frac{-3\pm 27}{2}\ \Longrightarrow\ x=12\ \text{o}\ x=-15$

   Una velocidad negativa no tiene sentido aquí, así que $x=12$ y el primer ciclista va a $x+3=15$ km/h.

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   Comprueba con el enunciado original. Los tiempos son $\dfrac{120}{12}=10$ h y $\dfrac{120}{15}=8$ h. La diferencia de velocidades es $15-12=3$ km/h ✓ y la de tiempos es $10-8=2$ h ✓.