Resuelve el sistema de inecuaciones: −x² + 3x + 4 ≥ 0 y 3x² − 5x ≥ 0. Da el conjunto solución como unión de intervalos.

Step-by-step solution

1. 1

   Leer la palabra «y» como una instrucción de intersecar. Cada inecuación tiene su propio conjunto solución; el sistema se cumple exactamente en la zona común. Así que el trabajo se parte en dos estudios de signo cuadráticos independientes más una intersección al final.

2. 2

   Invertir la primera inecuación para que la parábola se abra hacia arriba. Multiplicar $-x^{2}+3x+4\ge 0$ por $-1$ invierte el sentido:

   $x^{2}-3x-4\le 0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+1)\le 0.$

   Como la parábola $y=(x-4)(x+1)$ se abre hacia arriba, está en cero o por debajo exactamente entre sus raíces:

   $-1\le x\le 4.$

3. 3

   Factorizar $3x^{2}-5x$ sacando factor común $x$. Al no haber término independiente, la factorización es inmediata:

   $3x^{2}-5x=x(3x-5)\ge 0,\qquad\text{raíces }x=0,\;x=\tfrac53 .$

   Una parábola hacia arriba es $\ge 0$ fuera de sus raíces, de modo que

   $x\le 0\quad\text{o}\quad x\ge \tfrac53 .$

   Compárese con el problema hermano en el que el factor es $3x-2$: solo se mueve la raíz de la derecha, de $\tfrac23$ a $\tfrac53$.

4. 4

   Intersecar $[-1,4]$ con $(-\infty,0]\cup\left[\tfrac53,\infty\right)$. Trozo a trozo,

   $[-1,4]\cap(-\infty,0]=[-1,0],\qquad[-1,4]\cap\left[\tfrac53,\infty\right)=\left[\tfrac53,4\right],$

   lo que da el conjunto solución $[-1,0]\cup\left[\tfrac53,4\right]$. El hueco excluido $\left(0,\tfrac53\right)$ es más ancho que en la versión con $3x-2$, que es la única diferencia visible entre las dos respuestas.

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   Verificar en tres puntos. $x=0.5$: la primera inecuación da $-0.25+1.5+4=5.25\ge 0$ ✓, la segunda da $0.75-2.5=-1.75<0$ ✗, así que queda correctamente excluido. $x=2$: $6\ge 0$ ✓ y $12-10=2\ge 0$ ✓, incluido. $x=-1$: $-1-3+4=0\ge 0$ ✓ y $3+5=8\ge 0$ ✓, el extremo izquierdo pertenece al conjunto.