Simplificar √45 − √12 − √10/√2 + 3/√3 a la forma a√3 + b√5 con a y b racionales, y hallar a + b.

Step-by-step solution

1. 1

   Simplificar los dos radicales simples. Se extrae el mayor factor cuadrado:

   $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt5,\qquad \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3$

2. 2

   Reunir el cociente de radicales en un solo radical. Usando $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}$:

   $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt5$

   Esto es más rápido que racionalizar primero el denominador.

3. 3

   Racionalizar el último término.

   $\frac{3}{\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$

   (De forma equivalente, $\tfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$ porque $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$.)

4. 4

   Agrupar por separado los términos en √3 y los términos en √5. Son radicales distintos y no se pueden fundir:

   $3\sqrt5-2\sqrt3-\sqrt5+\sqrt3=(3-1)\sqrt5+(-2+1)\sqrt3=2\sqrt5-\sqrt3$

5. 5

   Ajustar a la forma pedida y sumar. Escribiéndolo como $a\sqrt3+b\sqrt5$ se obtiene $a=-1$ y $b=2$, así que

   $a+b=-1+2=1$

   $\boxed{a+b=1}$

6. 6

   Comprobar numéricamente. $\sqrt{45}=6.7082$, $\sqrt{12}=3.4641$, $\tfrac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=2.2361$, $\tfrac{3}{\sqrt3}=1.7321$. La suma es $6.7082-3.4641-2.2361+1.7321=2.7401$, y $2\sqrt5-\sqrt3=4.4721-1.7321=2.7401$ ✓.