¿Se puede factorizar 2x² − 4x + 1? Si es posible, factorízala.

Step-by-step solution

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   Plantea primero la pregunta correcta: ¿factorizar sobre qué conjunto? Sobre los enteros, una cuadrática $ax^2+bx+c$ se factoriza solo cuando su discriminante es un cuadrado perfecto. Sobre los reales se factoriza siempre que el discriminante sea no negativo. Así que calcula $\Delta$ antes de andar adivinando pares de factores.

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   Calcula el discriminante. Con $a=2$, $b=-4$, $c=1$: $\Delta = b^2-4ac = 16-8 = 8.$ Como $8>0$ hay dos raíces reales distintas, así que existe una factorización real; pero $8$ no es un cuadrado perfecto, así que no existe ninguna factorización entera ni racional. Probar $(2x\pm1)(x\pm1)$ y variantes está condenado a fallar.

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   Halla las raíces con la fórmula general. $x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{2}}{2},$ así que $x \approx 1.7071$ y $x \approx 0.2929$.

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   Escribe la factorización en forma de raíces. Como el coeficiente principal es $2$, hay que conservarlo al frente: $2x^2-4x+1 = 2\left(x-\frac{2+\sqrt2}{2}\right)\left(x-\frac{2-\sqrt2}{2}\right).$

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   Obtén una forma más limpia completando el cuadrado. $2x^2-4x+1 = 2(x^2-2x)+1 = 2\big[(x-1)^2-1\big]+1 = 2(x-1)^2-1$. Esto ya es una diferencia de cuadrados, $\big(\sqrt2(x-1)\big)^2-1^2$, así que $2x^2-4x+1 = \left(\sqrt2(x-1)-1\right)\left(\sqrt2(x-1)+1\right).$

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   Comprueba desarrollando. $\left(\sqrt2(x-1)\right)^2-1 = 2(x-1)^2-1 = 2x^2-4x+2-1 = 2x^2-4x+1$. Correcto. De forma equivalente, los factores se pueden escribir como $(\sqrt2 x-\sqrt2-1)(\sqrt2 x-\sqrt2+1)$.