Reescribe x² − 8xy + 16y² como un cuadrado perfecto usando una identidad algebraica.

Step-by-step solution

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   Decide qué identidad probar. Una expresión de tres términos con los dos términos exteriores cuadrados perfectos y un solo término central es candidata a

   $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

   Probar esto primero es más rápido que factorizar por tanteo, pero la prueba hay que hacerla bien: dos cuadrados no bastan, el término central debe coincidir exactamente con $-2ab$.

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   Identifica $a$ y $b$ a partir de los términos exteriores. El primer término ya es un cuadrado, $x^2$, así que $a=x$. El último término es $16y^2=(4y)^2$, así que $b=4y$. Observa que $b$ es la cantidad completa $4y$, y no solo $y$: llevar el coeficiente dentro de $b$ es lo que hace que funcione la comprobación siguiente.

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   Verifica el término central. Con $a=x$ y $b=4y$,

   $-2ab=-2\cdot x\cdot 4y=-8xy$

   que es exactamente el término central dado. Como los tres términos encajan en el patrón, el trinomio es de verdad un cuadrado perfecto. Si el término central hubiera sido otro, por ejemplo $-4xy$, la expresión no sería un cuadrado perfecto y haría falta otro método.

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   Escribe el cuadrado de la diferencia. El signo de dentro del paréntesis copia el signo del término central, así que un $-8xy$ da un menos:

   $x^2-8xy+16y^2=(x-4y)^2$

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   Comprueba desarrollando de vuelta. $(x-4y)^2=x^2-2(x)(4y)+16y^2=x^2-8xy+16y^2$. Una comprobación numérica es todavía más rápida: en $x=5,\,y=1$ la expresión original vale $25-40+16=1$ y $(5-4)^2=1$. Las dos coinciden, así que $(x-4y)^2$ es la respuesta.