Resolver la inecuación x² − 3x − 10 ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza el lado izquierdo. Dos números de producto $-10$ y suma $-3$ son $-5$ y $2$:

   $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\le 0$

2. 2

   Halla las raíces. El producto se anula en $x=5$ y $x=-2$. Como la desigualdad no es estricta, esos dos valores sí forman parte de la solución.

3. 3

   Decide en qué región el producto es negativo. El coeficiente principal es $+1$, así que la parábola abre hacia arriba: queda por debajo del eje solo entre sus raíces. Equivalentemente, para $-2<x<5$ el factor $(x+2)$ es positivo mientras que $(x-5)$ es negativo, y el producto sale negativo.

4. 4

   Enuncia el intervalo cerrado.

   $-2\le x\le 5,\qquad\text{es decir, }[-2,\,5]$

5. 5

   Prueba las tres regiones y también los extremos. En $x=0$: $-10\le 0$ $\checkmark$. En $x=6$: $36-18-10=8\not\le 0$ $\checkmark$. En $x=-3$: $9+9-10=8\not\le 0$ $\checkmark$. En $x=5$ y $x=-2$ la expresión vale exactamente $0$, que cumple $\le 0$ $\checkmark$.