Resolver la inecuación logaritmo en base 5 de (x - 3 por la raíz cuadrada de x + 32) es menor que 2 por el logaritmo en base 5 de (la raíz cuadrada de x + 2), y dar la menor solución entera positiva.

Step-by-step solution

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   Fijar el dominio. El radical obliga a $x\ge0$. Con $t=\sqrt{x}\ge0$, el primer argumento es $t^2-3t+32$, cuyo discriminante es $9-128=-119<0$; como el coeficiente principal es positivo, ese argumento es siempre positivo. El segundo argumento cumple también $\sqrt{x}+2\ge2>0$. Así que el dominio es simplemente $x\ge0$ y no se perderá después ninguna solución candidata.

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   Meter el coeficiente 2 dentro del logaritmo. Usando $k\log_b u=\log_b u^k$:

   $2\log_5(\sqrt{x}+2)=\log_5\left((\sqrt{x}+2)^2\right)$

   Ahora los dos lados son un único logaritmo con la misma base, que es la única forma en la que se pueden comparar directamente los argumentos.

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   Quitar los logaritmos. Como la base $5>1$, $\log_5$ es creciente, así que la desigualdad entre logaritmos equivale a la misma desigualdad entre los argumentos (el sentido se conserva; con una base menor que $1$ se invertiría):

   $x-3\sqrt{x}+32 < (\sqrt{x}+2)^2$

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   Desarrollar y cancelar. El lado derecho es $x+4\sqrt{x}+4$, y los términos en $x$ se cancelan en ambos lados:

   $-3\sqrt{x}+32 < 4\sqrt{x}+4 \quad\Longrightarrow\quad 28 < 7\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}>4$

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   Elevar al cuadrado sin riesgo. Los dos lados son no negativos, así que elevar al cuadrado conserva la desigualdad:

   $x>16$

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   Leer el menor entero. El menor entero estrictamente mayor que $16$ es $x=17$, y pertenece al dominio $x\ge0$. Comprobación: $17-3\sqrt{17}+32\approx36.63$ mientras que $(\sqrt{17}+2)^2\approx37.25$, así que la desigualdad sí se cumple en $x=17$, pero falla en $x=16$ (los dos lados valen $36$).