Halla el valor de (2x + 3)² − (2x − 1)² − 6x en x = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye directamente como primera pasada. Con $x=1$,

   $(2+3)^{2}-(2-1)^{2}-6=5^{2}-1^{2}-6=25-1-6=18.$

   Eso ya responde a la pregunta, pero oculta la estructura — y la estructura es justo lo que protege de los descuidos aritméticos.

2. 2

   Rehazlo con la diferencia de cuadrados. Los dos primeros términos tienen la forma $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ con $A=2x+3$ y $B=2x-1$:

   $A+B=4x+2,\qquad A-B=(2x+3)-(2x-1)=4.$

   Los términos en $x$ se cancelan en $A-B$, y por eso esta factorización resulta tan eficaz aquí.

3. 3

   Simplifica la expresión completa.

   $(4x+2)(4)-6x=16x+8-6x=10x+8.$

   La expresión original, que parecía cuadrática, es en realidad lineal: los términos $4x^{2}$ se cancelaron.

4. 4

   Evalúa la forma simplificada.

   $10(1)+8=18,$

   lo que concuerda con la sustitución directa.

5. 5

   Prueba un segundo punto para confirmar la simplificación. En $x=3$ la original da $(9)^{2}-(5)^{2}-18=81-25-18=38$, y la forma simplificada da $10(3)+8=38$ ✓. Como $10x+8$ coincide en dos puntos y ambas expresiones son polinomios de grado a lo sumo uno tras la cancelación, son la misma función.