Resuelve el sistema: (1/3)x + (1/3)y = −1; −1/3 + y − (1/2)z = −w; (5/6)z − (1/2)y = w; x = 30 + z.

Step-by-step solution

1. 1

   Limpia la primera ecuación e incorpora la cuarta. Multiplicando por $3$:

   $x+y=-3.$

   Sustituyendo $x=30+z$ se obtiene $30+z+y=-3$, así que

   $y+z=-33\quad\Longrightarrow\quad y=-33-z.$

   Leer la segunda ecuación al pie de la letra importa aquí: su primer término es la constante $-\tfrac13$, de modo que $x$ aparece solo en dos de las cuatro ecuaciones.

2. 2

   Obtén dos expresiones para $w$. Multiplicando la segunda ecuación por $-1$,

   $w=\frac13-y+\frac12z,$

   mientras que la tercera ecuación da directamente

   $w=\frac56z-\frac12y.$

3. 3

   Iguálalas y quita los denominadores. Igualando los dos lados derechos y multiplicando por $6$:

   $2-6y+3z=5z-3y\;\Longrightarrow\;2-3y-2z=0\;\Longrightarrow\;3y+2z=2.$

4. 4

   Sustituye $y=-33-z$ y despeja $z$.

   $3(-33-z)+2z=2\;\Longrightarrow\;-99-z=2\;\Longrightarrow\;z=-101.$

   Entonces $y=-33-(-101)=68$ y $x=30+z=-71$.

5. 5

   Recupera $w$ y verifica las cuatro ecuaciones.

   $w=\frac56(-101)-\frac12(68)=-\frac{505}{6}-34=-\frac{709}{6}.$

   Comprobaciones exactas: $\tfrac13(-71)+\tfrac13(68)=-1$ ✓; $-\tfrac13+68-\tfrac12(-101)=\tfrac{709}{6}=-w$ ✓; $\tfrac56(-101)-\tfrac12(68)=-\tfrac{709}{6}=w$ ✓; $30+(-101)=-71=x$ ✓.