Factoriza por completo el polinomio x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Fijarse en que los coeficientes son capicúas. Leer $1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1$ hacia adelante y hacia atrás da la misma lista. Una cuártica capicúa suele ser el cuadrado de una cuadrática capicúa, así que probamos con $\left(x^2 + bx + c\right)^2$.

2. 2

   Igualar coeficientes. Al desarrollar el cuadrado de prueba:

   $\left(x^2 + bx + c\right)^2 = x^4 + 2bx^3 + \left(b^2 + 2c\right)x^2 + 2bc\,x + c^2$

   Comparando con el objetivo: de $2b = 2$ sale $b = 1$; $c^2 = 1$ junto con el coeficiente de $x$, que es $2bc = 2$, obliga a $c = 1$; y la comprobación del coeficiente de $x^2$ es $b^2 + 2c = 1 + 2 = 3$. Todos los coeficientes concuerdan.

3. 3

   Escribir la factorización.

   $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = \left(x^2 + x + 1\right)^2$

4. 4

   Mostrar que la factorización es completa sobre los reales. La cuadrática interior tiene discriminante $1 - 4 = -3 < 0$, así que es irreducible sobre $\mathbb{R}$ y nunca se anula. Completando el cuadrado, $x^2 + x + 1 = \left(x + \tfrac12\right)^2 + \tfrac34 \ge \tfrac34$, de modo que la cuártica está acotada inferiormente por $\left(\tfrac34\right)^2 = \tfrac{9}{16}$ y no tiene ninguna raíz real.

5. 5

   Anotar la factorización compleja. Sobre $\mathbb{C}$, las raíces de $x^2 + x + 1$ son las raíces cúbicas primitivas de la unidad $\omega = \tfrac{-1 \pm i\sqrt3}{2}$, cada una raíz doble de la cuártica:

   $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = \left(x - \omega\right)^2\left(x - \bar\omega\right)^2$

6. 6

   Comprobar numéricamente. En $x = 2$: la cuártica da $16 + 16 + 12 + 4 + 1 = 49$, y $\left(4 + 2 + 1\right)^2 = 7^2 = 49$. En $x = -1.7$ ambas formas devuelven $4.7961$.