Simplifica (x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1) − (x + 3)(x + 3)(x + 3)(x + 3) − 272.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe los productos repetidos como potencias cuartas. Los cuatro factores idénticos de cada grupo son simplemente potencias:

   $(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)=(x+1)^4,\qquad (x+3)(x+3)(x+3)(x+3)=(x+3)^4$

2. 2

   Desarrolla cada uno con el teorema del binomio. Usando los coeficientes $1,4,6,4,1$:

   $(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$

   $(x+3)^4=x^4+4(3)x^3+6(9)x^2+4(27)x+81=x^4+12x^3+54x^2+108x+81$

   Las potencias de $3$ crecen rápido —$3,9,27,81$— y ahí es donde se producen los descuidos aritméticos.

3. 3

   Resta término a término, distribuyendo el menos sobre todo el segundo desarrollo.

   $x^4-x^4=0,\quad 4x^3-12x^3=-8x^3,\quad 6x^2-54x^2=-48x^2,\quad 4x-108x=-104x$

   Los términos principales $x^4$ siempre se cancelan al restar dos potencias cuartas mónicas, así que el resultado baja a grado $3$.

4. 4

   Ocúpate de las constantes, incluido el $-272$.

   $1-81-272=-352$

   así que la expresión simplificada es

   $-8x^3-48x^2-104x-352$

5. 5

   Saca el factor común $-8$ y verifica. Cada coeficiente es divisible entre $8$:

   $-8\left(x^3+6x^2+13x+44\right)$

   Comprobando en $x=0$: la expresión original da $1-81-272=-352$ y la forma simplificada da $-352\;\checkmark$. En $x=1$: la original da $16-256-272=-512$, y $-8-48-104-352=-512\;\checkmark$. El factor cúbico no tiene raíces racionales entre los divisores de $44$, así que la factorización con enteros no va más allá.