Resolver x⁷ + x⁵ + x³ + x = 4.66 para el valor real de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Demuestra que hay exactamente una raíz real. Sea $f(x) = x^7 + x^5 + x^3 + x$. Su derivada $f'(x) = 7x^6 + 5x^4 + 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$ para todo $x$ real, así que $f$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$. Una función continua estrictamente creciente toma cada valor a lo sumo una vez y, como $f \to \pm\infty$, exactamente una vez. No hace falta factorizar nada para saber que la respuesta es única.

2. 2

   Acota la raíz.

   $f(1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, \qquad f(1.1) = 1.948717 + 1.610510 + 1.331 + 1.1 = 5.990227$

   Como $4 < 4.66 < 5.990227$, la raíz está en $(1,\ 1.1)$.

3. 3

   Estrecha el intervalo.

   $f(1.03) = 4.511875, \qquad f(1.04) = 4.697449$

   El objetivo $4.66$ queda entre ambos, así que la raíz está en $(1.03,\ 1.04)$, y más cerca de $1.04$, porque $4.66$ está más próximo a $4.697$ que a $4.512$.

4. 4

   Biseca hasta la precisión completa. Partir el intervalo por la mitad repetidamente (o aplicar el método de Newton con la derivada de arriba) converge a

   $x \approx 1.038016$

5. 5

   Verifica y observa la precisión necesaria. $f(1.038016) = 4.660006$ con seis decimales. En cambio $f(1.038) = 4.659705$ y $f(1.03805) = 4.660645$, así que la respuesta hay que llevarla a unas seis cifras significativas: la función cambia aproximadamente $18.8$ por unidad de $x$ cerca de la raíz, de modo que un error de $10^{-6}$ en $x$ es un error de $2\times10^{-5}$ en $f$.