Factoriza x² + 5xy + 6y² − 2x − 7y − 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa la parte de grado dos. Si toda la expresión se factoriza en dos factores lineales, las partes principales de esos factores deben multiplicarse para dar $x^2+5xy+6y^2$. Factorizar solo esa pieza ya fija la forma de la respuesta.

2. 2

   Factoriza la parte cuadrática.

   $x^{2}+5xy+6y^{2}=(x+2y)(x+3y)$

   así que la factorización tiene que verse como $(x+2y+p)(x+3y+q)$ para ciertas constantes $p$ y $q$.

3. 3

   Iguala el término independiente. Al multiplicar las dos constantes se obtiene $pq=-3$, de modo que $\{p,q\}$ es $\{1,-3\}$ o $\{3,-1\}$.

4. 4

   Iguala los coeficientes de x y de y para decidir entre ambas opciones. Al desarrollar $(x+2y+p)(x+3y+q)$, el coeficiente de $x$ es $p+q$ y el de $y$ es $3p+2q$. Hacen falta $p+q=-2$ y $3p+2q=-7$. El par $p=-3$, $q=1$ cumple las dos condiciones: $-3+1=-2$ y $-9+2=-7$.

5. 5

   Escribe la respuesta.

   $\boxed{(x+2y-3)(x+3y+1)}$

6. 6

   Desarrolla como comprobación.

   $(x+2y-3)(x+3y+1)=x^2+3xy+x+2xy+6y^2+2y-3x-9y-3=x^2+5xy+6y^2-2x-7y-3$