Resuelve la ecuación cúbica x³ + 40x² + 400x + 2000 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba los candidatos racionales. Entre los divisores de $2000$ están $\pm 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 400, 500, 1000, 2000$. Evaluar los negativos plausibles da $f(-10) = 1000$, $f(-20) = 2000$, $f(-25) = -1375$, $f(-40) = -14000$: ningún cero, pero el cambio de signo entre $-20$ y $-25$ localiza una raíz real en ese rango.

2. 2

   Reduce la cúbica. Con $a = 40$, $b = 400$, $c = 2000$, sustituye $x = y - \tfrac{40}{3}$. Entonces

   $p = b - \frac{a^2}{3} = 400 - \frac{1600}{3} = -\frac{400}{3}, \qquad q = \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c = \frac{128000}{27} - \frac{144000}{27} + \frac{54000}{27} = \frac{38000}{27}$

   lo que da $y^3 - \tfrac{400}{3}y + \tfrac{38000}{27} = 0$.

3. 3

   Calcula el discriminante.

   $\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{19000}{27}\right)^2 - \left(\frac{400}{9}\right)^3 = \frac{361000000 - 64000000}{729} = \frac{11000000}{27}$

   Es decir, $\Delta \approx 407407.4 > 0$, así que hay una raíz real y dos complejas conjugadas.

4. 4

   Aplica Cardano y deshaz el desplazamiento.

   $x = \sqrt[3]{-\frac{19000}{27} + \sqrt{\frac{11000000}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{19000}{27} - \sqrt{\frac{11000000}{27}}} - \frac{40}{3}$

   Numéricamente, $\sqrt{11000000/27} = 638.2847$ y $\tfrac{19000}{27} = 703.7037$, así que las raíces cúbicas son $\sqrt[3]{-65.4190} = -4.02935$ y $\sqrt[3]{-1341.9884} = -11.03018$. Su suma es $y \approx -15.059534$, de donde

   $x_1 = -15.059534 - 13.333333 = -28.392868$

5. 5

   Recupera el par complejo. Al dividir entre $(x - x_1)$ queda $x^2 + 11.607132x + 70.440225$, cuyas raíces son

   $x = -5.803566 \pm 6.062907\,i$

6. 6

   Verifica con Vieta. Suma de las raíces $= -28.392868 + 2(-5.803566) = -40.000000$, que coincide con $-a = -40$. Producto $= -28.392868\left(5.803566^2 + 6.062907^2\right) = -28.392868 \times 70.440220 = -2000.0$, que coincide con $-c = -2000$. La sustitución directa de $x_1$ en la cúbica devuelve $|f(x_1)| < 10^{-9}$. (Un valor citado con frecuencia para la raíz real, $-30.3393$, es incorrecto: da $f(-30.3393) \approx -1243$.)