Divide 2x² + 2x + 1 entre 2x + 3. Da el cociente y el resto.

Step-by-step solution

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   Plantea la división. En $2x^2+2x+1$ ya aparecen todas las potencias de $x$, así que no hace falta ningún término de relleno. El divisor $2x+3$ no es mónico, lo que significa que aquí es normal obtener coeficientes fraccionarios en el cociente.

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   Primera ronda. $\dfrac{2x^2}{2x}=x$. Multiplica de vuelta: $x(2x+3)=2x^2+3x$. Resta: $(2x^2+2x+1)-(2x^2+3x)=-x+1.$

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   Segunda ronda. $\dfrac{-x}{2x}=-\dfrac12$. Multiplica de vuelta: $-\tfrac12(2x+3)=-x-\tfrac32$. Resta: $(-x+1)-\left(-x-\frac32\right)=1+\frac32=\frac52.$

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   Detente en el momento correcto. El sobrante $\tfrac52$ tiene grado $0$, por debajo del grado de $2x+3$, así que el proceso termina: cociente $x-\tfrac12$, resto $\tfrac52$.

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   Verifica. $\left(x-\frac12\right)(2x+3)+\frac52=2x^2+3x-x-\frac32+\frac52=2x^2+2x+1.$ Observa que el cociente coincide con el del problema anterior mientras que el resto no: cambiar la constante del divisor solo mueve el sobrante.