Multiplica y simplifica: (x² − 14x + 48)/(x² − 3x − 18) por (x² − 9)/(x² − 64).

Step-by-step solution

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   Factorizar todo antes de multiplicar nada. Desarrollar primero los numeradores y denominadores daría polinomios de cuarto grado y ocultaría todas las cancelaciones. Las cuatro expresiones cuadráticas factorizan sobre los enteros, así que factorizar es posible y es justamente de lo que va el ejercicio.

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   Factorizar las cuatro expresiones cuadráticas.

   $x^2-14x+48 = (x-6)(x-8), \qquad x^2-3x-18 = (x-6)(x+3)$

   $x^2-9 = (x-3)(x+3), \qquad x^2-64 = (x-8)(x+8)$

   Las dos últimas son diferencias de cuadrados; para las dos primeras hacen falta pares que multipliquen $48$ y $-18$ con sumas $-14$ y $-3$.

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   Escribir el producto como una sola fracción.

   $\frac{(x-6)(x-8)\,(x-3)(x+3)}{(x-6)(x+3)\,(x-8)(x+8)}$

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   Cancelar factores iguales, no términos iguales. Tres factores completos aparecen arriba y abajo: $(x-6)$, $(x-8)$ y $(x+3)$. Al cancelarlos queda

   $\frac{x-3}{x+8}$

   Lo que no se puede hacer es cancelar la $x$ suelta ni el $3$ de $\dfrac{x-3}{x+8}$: la cancelación solo elimina factores idénticos de un producto, nunca trozos de una suma.

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   Anotar los valores excluidos. Cancelar esconde restricciones que la expresión original seguía teniendo: el dominio excluye $x = 6$, $x = -3$, $x = 8$ y $x = -8$. La forma simplificada es igual a la original solo allí donde la original está definida.

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   Verificar en un valor de prueba. Se toma $x = 1$. Original: $\dfrac{1-14+48}{1-3-18} \cdot \dfrac{1-9}{1-64} = \dfrac{35}{-20} \cdot \dfrac{-8}{-63} = -\dfrac{2}{9}$. Simplificada: $\dfrac{1-3}{1+8} = -\dfrac{2}{9}$ ✓.