Resuelve 0 = 0.7x + 6.804e10 · x⁴ − 1210.23 para todos los valores reales de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Ponerla en forma estándar y evaluar la escala. Reordenando:

   $6.804\times10^{10}x^{4}+0.7x-1210.23=0.$

   El coeficiente principal es enorme, así que el término $x^{4}$ alcanzará el tamaño del término constante cuando $x$ sea todavía diminuto. Es la situación opuesta a la de una cuártica con coeficiente principal muy pequeño, donde las raíces son grandes.

2. 2

   Obtener una primera estimación descartando el término lineal. Equilibrando solo los dos términos dominantes:

   $6.804\times10^{10}x^{4}\approx1210.23\;\Longrightarrow\;x^{4}\approx1.7787\times10^{-8}\;\Longrightarrow\;|x|\approx0.0115485.$

   Aquí el descarte sí está justificado: con ese $x$ el término lineal $0.7x\approx0.0081$ queda cinco órdenes de magnitud por debajo de $1210.23$. Como $x^{4}$ es una potencia par, esta estimación sugiere de inmediato dos raíces, una cerca de $+0.0115$ y otra cerca de $-0.0115$.

3. 3

   Confirmar dos cambios de signo. Recorrer $f(x)=6.804\times10^{10}x^{4}+0.7x-1210.23$ a lo largo de $[-1,1]$ encuentra exactamente dos cambios de signo, cerca de $-0.011549$ y de $+0.011548$. Informar solo de la raíz positiva, que es la omisión fácil, pierde la mitad de la respuesta.

4. 4

   Bisecar cada intervalo hasta la precisión completa. Partiendo por la mitad hasta que $|f|<10^{-12}$:

   $x_{+}=0.0115484893,\qquad x_{-}=-0.0115485279.$

   Las dos son casi, pero no exactamente, opuestas: el término $0.7x$ rompe ligeramente la simetría y aleja un poco más del cero a la raíz negativa. Un valor citado de $0.0115425$ no es lo bastante exacto: ahí $f\approx-2.51$, no $0$.

5. 5

   Sustituir para comprobar. En $x=0.0115484893$: el término de cuarto grado vale $1210.222$ y el lineal $0.008084$, y juntos cancelan $1210.23$ con un margen de $9\times10^{-6}$ ✓. En $x=-0.0115485279$ el término de cuarto grado vale $1210.238$ y el lineal $-0.008084$, y de nuevo suman cero ✓. Las otras dos raíces de la cuártica forman un par complejo conjugado.