Simplifica (2x + 1)/(x + 5) − (3x − 2)/(x + 4) en una sola fracción.

Step-by-step solution

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   Construye el común denominador. Los dos denominadores $x+5$ y $x+4$ no comparten ningún factor, así que el mínimo común denominador es su producto $(x+5)(x+4)$. Reescribe cada fracción multiplicando numerador y denominador por el otro denominador:

   $\frac{2x+1}{x+5}=\frac{(2x+1)(x+4)}{(x+5)(x+4)},\qquad \frac{3x-2}{x+4}=\frac{(3x-2)(x+5)}{(x+5)(x+4)}.$

   Anota además las restricciones $x\ne-5$ y $x\ne-4$, que se arrastran hasta la respuesta final.

2. 2

   Desarrolla el primer numerador. Aplicando la doble distributiva:

   $(2x+1)(x+4)=2x^{2}+8x+x+4=2x^{2}+9x+4.$

   El coeficiente central es $8+1=9$; combinar esos dos términos semejantes antes de seguir evita arrastrar una expresión incómoda de cuatro términos.

3. 3

   Desarrolla el segundo numerador. Del mismo modo,

   $(3x-2)(x+5)=3x^{2}+15x-2x-10=3x^{2}+13x-10.$

   Cuidado con el término independiente: $(-2)(+5)=-10$, no $+10$.

4. 4

   Resta distribuyendo el signo menos en los tres términos. Aquí es donde se concentran los errores:

   $\left(2x^{2}+9x+4\right)-\left(3x^{2}+13x-10\right)=2x^{2}+9x+4-3x^{2}-13x+10.$

   Todos los signos del segundo paréntesis cambian, incluido el $-10$, que pasa a $+10$. Combinando términos semejantes:

   $-x^{2}-4x+14.$

5. 5

   Escribe el resultado y compruébalo numéricamente. La expresión simplificada es

   $\frac{-x^{2}-4x+14}{(x+5)(x+4)}=-\frac{x^{2}+4x-14}{(x+5)(x+4)},\qquad x\ne-5,\,-4.$

   El numerador no factoriza sobre los racionales (su discriminante vale $16+56=72$), así que no se cancela nada. Comprobación numérica en $x=2$: la expresión original da $\tfrac57-\tfrac46=0.7143-0.6667=0.04762$, y la respuesta da $\tfrac{-4-8+14}{7\cdot 6}=\tfrac{2}{42}=0.04762$ ✓.