La función f(x) = |x + 2| - 1 se refleja en el eje x y después se traslada 2 unidades hacia abajo. Escribe la ecuación de la nueva función.

Step-by-step solution

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   Identifica la gráfica de partida. $f(x)=|x+2|-1$ es una V que abre hacia arriba con vértice en $(-2,-1)$, ya que $|x+2|=|x-(-2)|$ hace $h=-2$ y el $-1$ final hace $k=-1$.

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   Refleja en el eje $x$ cambiando de signo toda la salida. Este es el paso donde la gente tropieza: el signo menos debe aplicarse a la función entera, constante incluida, no solo al término del valor absoluto:

   $-f(x)=-\left(|x+2|-1\right)=-|x+2|+1$

   Escribir $-|x+2|-1$ en esta etapa sería el error clásico: al reflejar, el $-1$ se convierte en $+1$, porque el punto $(-2,-1)$ pasa a $(-2,1)$.

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   Traslada 2 unidades hacia abajo restando 2.

   $-|x+2|+1-2=-|x+2|-1$

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   Enuncia el resultado y sus características.

   $f(x)=-|x+2|-1,\qquad \text{vértice }(-2,-1),\ \text{abre hacia abajo}$

   El vértice ha vuelto a sus coordenadas originales por casualidad —la reflexión lo subió de $-1$ a $+1$ y la traslación lo bajó $2$—, pero la gráfica es genuinamente distinta: ahora es una V invertida.

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   Comprueba con puntos. Original $(0,f(0))=(0,1)$; al reflejar queda $(0,-1)$ y al bajar $2$ queda $(0,-3)$. Con la fórmula final: $-|0+2|-1=-2-1=-3\;\checkmark$. El vértice original $(-2,-1)\to(-2,1)\to(-2,-1)$, y la fórmula da $-|{-2}+2|-1=-1\;\checkmark$. Como el valor máximo es $-1$, la gráfica nunca llega al eje $x$.