Resuelve la inecuación 2x² + x - 1 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza la cuadrática. Separa el término central con dos números de producto $2\cdot(-1)=-2$ y suma $+1$, que son $+2$ y $-1$:

   $2x^2+2x-x-1=2x(x+1)-1(x+1)=(2x-1)(x+1)$

   Factorizar primero merece la pena: las raíces aparecen entonces sin ninguna raíz cuadrada.

2. 2

   Lee las raíces. De $(2x-1)(x+1)=0$ salen $x=\frac12$ y $x=-1$. Estas dividen la recta en $(-\infty,-1)$, $\left(-1,\frac12\right)$ y $\left(\frac12,\infty\right)$.

3. 3

   Predice la respuesta a partir de la forma. El coeficiente principal $2>0$, así que la parábola abre hacia arriba: es positiva fuera de sus dos raíces y negativa estrictamente entre ellas. Eso ya da la forma de la respuesta.

4. 4

   Confirma con un punto de prueba por intervalo.

   $x=-2:\ (-5)(-1)=5>0\qquad x=0:\ (-1)(1)=-1<0\qquad x=1:\ (1)(2)=2>0$

   Coincide con la predicción: los intervalos exteriores sirven, el central no. Estructuralmente, el producto es positivo cuando los dos factores comparten signo.

5. 5

   Trata los extremos. En $x=-1$ y $x=\frac12$ la expresión vale exactamente $0$, y $0>0$ es falso, así que la desigualdad es estricta en los dos extremos:

   $x\in(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac12,\infty\right)$