Un polinomio f(x) deja resto 2x + 1 al dividirlo entre 2x^2 - 3x + 4. Hallar el resto cuando [f(x)]^3 se divide entre 2x^2 - 3x + 4.

Step-by-step solution

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   Convertir el dato de la división en una ecuación que se pueda elevar al cubo. "Resto $2x+1$" significa que existe algún polinomio cociente $Q(x)$ tal que

   $f(x)=Q(x)\,(2x^2-3x+4)+(2x+1)$

   Esta es la única información dada, así que todo paso tiene que salir de aquí. Se escribe $D(x)=2x^2-3x+4$ para abreviar.

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   Elevar al cubo ambos lados y descartar todo lo divisible entre $D(x)$. Desarrollando $\big(QD+(2x+1)\big)^3$ con el binomio de Newton se obtiene

   $Q^3D^3+3Q^2D^2(2x+1)+3QD(2x+1)^2+(2x+1)^3$

   Los tres primeros términos contienen un factor $D(x)$, así que no aportan nada al resto. Esa es la idea clave: el resto de $f^3$ es igual al resto de $(2x+1)^3$. Nunca hace falta conocer $f$ ni $Q$.

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   Desarrollar el cubo.

   $(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1$

   El divisor tiene grado $2$, así que el resto que se busca tiene grado a lo sumo $1$: será de la forma $Ax+B$.

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   Reducir las potencias de $x$ usando el propio divisor. En lugar de hacer la división larga, se usa la relación $2x^2-3x+4=0$ en el anillo cociente, es decir, se trata

   $x^2=\frac{3x-4}{2}$

   como una regla de reescritura. Entonces

   $x^3=x\cdot x^2=\frac{3x^2-4x}{2}=\frac{3\cdot\frac{3x-4}{2}-4x}{2}=\frac{\frac{9x-12-8x}{2}}{2}=\frac{x-12}{4}$

   Este truco de sustitución es mucho más rápido que dividir un polinomio cúbico entre uno cuadrático, y se generaliza a cualquier potencia de $x$.

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   Sustituir y agrupar términos semejantes.

   $8x^3=8\cdot\frac{x-12}{4}=2x-24,\qquad 12x^2=12\cdot\frac{3x-4}{2}=18x-24$

   de modo que

   $(2x+1)^3\equiv(2x-24)+(18x-24)+6x+1=26x-47$

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   Comprobar con una división larga honesta. Al dividir $8x^3+12x^2+6x+1$ entre $2x^2-3x+4$ se obtiene el cociente $4x+12$, y

   $(2x^2-3x+4)(4x+12)=8x^3+12x^2-20x+48$

   Sumando el resto propuesto: $8x^3+12x^2-20x+48+26x-47=8x^3+12x^2+6x+1$, que es exactamente el cubo. El resto queda confirmado.