Factoriza por completo (y − x)² (x + y)² − (x − y)² (x + y).

Step-by-step solution

1. 1

   Haz que los dos binomios coincidan. El primer término contiene $(y-x)^{2}$ y el segundo $(x-y)^{2}$. Como $y-x=-(x-y)$ y elevar al cuadrado elimina el signo,

   $(y-x)^{2}=(-(x-y))^{2}=(x-y)^{2}.$

   Reescribir el primer término con $(x-y)^{2}$ deja a la vista la estructura compartida; sin este paso es muy fácil no ver el factor común.

2. 2

   Reescribe la expresión con los binomios ya emparejados. El problema queda

   $(x-y)^{2}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x+y).$

   Ahora los dos términos contienen visiblemente $(x-y)^{2}$ y al menos una copia de $(x+y)$.

3. 3

   Identifica el máximo común divisor. Comparando los dos términos factor a factor: $(x-y)$ aparece al cuadrado en ambos, y $(x+y)$ aparece elevado al cuadrado en el primer término pero solo a la primera potencia en el segundo. El m.c.d. toma la potencia más baja de cada uno:

   $\text{m.c.d.}=(x-y)^{2}(x+y).$

4. 4

   Sácalo como factor común. Al dividir cada término entre el m.c.d. queda $(x+y)$ del primero y $1$ del segundo:

   $(x-y)^{2}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x+y)=(x-y)^{2}(x+y)\left[(x+y)-1\right].$

   Ese $1$ es la parte que más se olvida: el segundo término no desaparece al quitar el factor común, se convierte en $1$.

5. 5

   Escribe la respuesta y verifícala numéricamente. La factorización completa es

   $(x-y)^{2}(x+y)(x+y-1),$

   y ninguno de los tres factores se descompone más sobre los racionales. Comprobando en $x=2.4$, $y=1.1$: la expresión original da $14.7875$ y la forma factorizada da $14.7875$ ✓; un segundo par de valores al azar también coincide en nueve dígitos.