Resuelve el sistema x⁴ + y⁴ = 82 y xy = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Tiende un puente hacia las cantidades simétricas de grado menor. La identidad

   $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}$

   permite convertir las cuartas potencias dadas usando solo $xy$, que también es dato. Esta es la ruta estándar en los sistemas simétricos: bajar del grado $4$ al grado $2$.

2. 2

   Calcula x² + y².

   $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=82+2(3)^{2}=82+18=100$

   Como $x^{2}+y^{2}\ge 0$ para $x,y$ reales, solo la raíz positiva es admisible:

   $x^{2}+y^{2}=10$

3. 3

   Obtén x + y y x − y.

   $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=10+6=16\ \Longrightarrow\ x+y=\pm 4$

   $(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy=10-6=4\ \Longrightarrow\ x-y=\pm 2$

4. 4

   Combina las elecciones de signo y quédate solo con los pares coherentes. De $x+y=4$: con $x-y=2$ sale $(3,1)$; con $x-y=-2$ sale $(1,3)$. De $x+y=-4$: $(-1,-3)$ y $(-3,-1)$.

   $\boxed{(x,y)=(3,1),\ (1,3),\ (-1,-3),\ (-3,-1)}$

5. 5

   Comprueba cada par en las dos ecuaciones. Para $(3,1)$: $81+1=82$ ✓ y $3\cdot 1=3$ ✓. Para $(-1,-3)$: $1+81=82$ ✓ y $(-1)(-3)=3$ ✓. Los otros dos se siguen de las simetrías $x\leftrightarrow y$ y $(x,y)\to(-x,-y)$, que dejan invariante el sistema.

6. 6

   Fíjate en la condición de coherencia de signos. Como $xy=3>0$, $x$ e $y$ deben tener el mismo signo — y justo por eso $x+y=4$ solo se empareja con $x-y=\pm 2$ y nunca produce una solución de signos mezclados. Un candidato como $(3,-1)$ fallaría en $xy=3$.