Las gráficas de y = 2x² − 21x + 64 y de y = 3x + a, donde a es una constante, se cortan exactamente en un punto (x, y). ¿Cuál es el valor de x?

Step-by-step solution

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   Iguala las dos expresiones de $y$. En un punto de corte, ambas curvas tienen la misma $y$ para la misma $x$:

   $2x^2 - 21x + 64 = 3x + a$

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   Pasa todo a un mismo miembro. Resta $3x + a$:

   $2x^2 - 24x + (64 - a) = 0$

   Esta es una cuadrática en $x$ cuyo término independiente todavía arrastra la incógnita $a$.

3. 3

   Traduce «exactamente un punto» a una condición sobre el discriminante. Una cuadrática tiene exactamente una raíz (doble) precisamente cuando su discriminante es cero. Con $A = 2$, $B = -24$, $C = 64 - a$:

   $B^2 - 4AC = (-24)^2 - 4(2)(64-a) = 576 - 512 + 8a = 8a + 64 = 0$

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   Lee la $x$ directamente de la raíz doble: el atajo. En realidad no hace falta conocer $a$. Cuando el discriminante se anula, la raíz doble es $x = -\dfrac{B}{2A}$, el vértice de la parábola $2x^2-24x+(64-a)$:

   $x = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

5. 5

   Confirma hallando $a$ de todos modos. De $8a + 64 = 0$ sale $a = -8$, así que la cuadrática es $2x^2 - 24x + 72 = 2(x-6)^2 = 0$, con raíz doble $x = 6$ ✓.

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   Comprueba que el punto está en las dos gráficas. Parábola: $2(36) - 21(6) + 64 = 72 - 126 + 64 = 10$. Recta: $3(6) + (-8) = 10$ ✓. El único punto de corte es $(6, 10)$, así que $x = 6$.