Resuelve la inecuación √(3x − 1) > 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Halla primero el dominio. El radicando tiene que ser no negativo:

   $3x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge\frac13$

   Todo lo que sigue queda restringido a $x\ge\tfrac13$.

2. 2

   Comprueba si el miembro derecho puede ser negativo. Elevar al cuadrado solo es reversible cuando ambos miembros son no negativos. En el dominio $x\ge\tfrac13>0$ se tiene $2x>0$, así que los dos miembros son positivos y elevar al cuadrado es una equivalencia válida — no hace falta separar casos.

3. 3

   Eleva al cuadrado ambos miembros.

   $3x-1>4x^{2}\quad\Longrightarrow\quad 0>4x^{2}-3x+1$

4. 4

   Comprueba si la cuadrática puede ser negativa. Su discriminante vale

   $(-3)^{2}-4(4)(1)=9-16=-7<0$

   y su coeficiente principal $4$ es positivo, así que $4x^{2}-3x+1>0$ para todo $x$ real. Por lo tanto la desigualdad exigida, $4x^{2}-3x+1<0$, no tiene ninguna solución.

5. 5

   Concluye.

   $\boxed{\text{No hay solución: el conjunto solución es vacío}}$

6. 6

   Verifica en unos cuantos puntos y observa por qué. En $x=\tfrac13$: $\sqrt0=0$ frente a $\tfrac23$ — pierde el miembro izquierdo. En $x=\tfrac12$: $\sqrt{0.5}=0.707$ frente a $1$ — pierde. En $x=1$: $\sqrt2=1.414$ frente a $2$ — pierde. La recta $2x$ crece más deprisa que $\sqrt{3x-1}$ en todo el dominio y, por el cálculo del discriminante, queda estrictamente por encima incluso en el acercamiento máximo (cerca de $x=\tfrac{25}{48}$, donde la separación es mínima pero sigue siendo positiva).