Para f(x) = 5x + 2 y g(x) = x − 6, halla (f − g)(x) y simplifica.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribir la definición de la diferencia de dos funciones. Por definición

   $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

   La resta se aplica a la salida completa de $g$, y por eso el siguiente paso necesita paréntesis.

2. 2

   Sustituir, manteniendo g entre paréntesis.

   $(f-g)(x)=(5x+2)-(x-6)$

   Omitir esos paréntesis es el error más común de todos, y produce $5x+2-x-6$, que es incorrecto.

3. 3

   Distribuir el signo menos. Cambia el signo de cada término interior:

   $5x+2-x+6$

4. 4

   Reducir términos semejantes. Los términos en $x$ dan $5x-x=4x$; las constantes dan $2+6=8$:

   $(f-g)(x)=4x+8$

   $\boxed{4x+8}$

5. 5

   Comprobar con un valor de prueba. En $x=3$: $f(3)=17$ y $g(3)=-3$, así que $f(3)-g(3)=17-(-3)=20$; y $4(3)+8=20$. Los valores coinciden, lo que confirma el manejo de los signos. Nota además que $4x+8=4(x+2)$, así que la diferencia tiene un único cero en $x=-2$.