Resolver la desigualdad compuesta 8 < 60(1 + x)/7 < 9.

Step-by-step solution

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   Anticipar dónde va a quedar la respuesta. En $x=0$ la expresión central vale $\tfrac{60}{7}=8.571$, que ya está dentro de la ventana buscada $(8,9)$. Así que $x=0$ es solución y el intervalo tiene que cruzar el cero: un extremo negativo y otro positivo.

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   Multiplicar las tres partes por 7. El multiplicador es positivo, así que los dos sentidos se conservan:

   $56<60(1+x)<63$

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   Dividir las tres partes entre 60, simplificando por el camino.

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{63}{60}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{21}{20}$

   ($56$ y $60$ comparten el factor $4$; $63$ y $60$ comparten el $3$.)

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   Restar 1 en las tres partes.

   $\frac{14}{15}-\frac{15}{15}<x<\frac{21}{20}-\frac{20}{20}$

   $-\frac{1}{15}<x<\frac{1}{20}$

   Un extremo negativo y otro positivo, exactamente como se había anticipado, y el $0$ queda dentro ✓.

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   Comparar con los problemas hermanos. Al subir la ventana una unidad, de $(7,8)$ a $(8,9)$, la solución pasa del intervalo enteramente negativo $\left(-\tfrac{11}{60},-\tfrac{1}{15}\right)$ a este otro que contiene el cero. Cada unidad del rango buscado corresponde a una anchura de $\tfrac{7}{60}$ en $x$, ya que $x$ varía en $\tfrac{7}{60}$ por cada unidad que cambia $\tfrac{60(1+x)}{7}$.

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   Verificar los dos extremos de forma exacta. En $x=-\tfrac{1}{15}$: $1+x=\tfrac{14}{15}$ y $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=8$ ✓. En $x=\tfrac{1}{20}$: $1+x=\tfrac{21}{20}$ y $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{21}{20}=\tfrac{63}{7}=9$ ✓. Las dos desigualdades son estrictas, así que el intervalo es abierto por los dos lados.