Una función cuadrática f cumple f(x) <= 0 exactamente en el intervalo -1 <= x <= 5, y su valor mínimo es -18. Resolver la inecuación f(x) <= 6.

Step-by-step solution

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   Leer las raíces y el sentido de apertura directamente del conjunto solución. $f(x)\le0$ se cumple exactamente en un intervalo cerrado y acotado, así que $f$ se anula en los extremos y es negativa estrictamente entre ellos. Eso significa que $-1$ y $5$ son las dos raíces y que la parábola abre hacia arriba (si abriera hacia abajo, $f\le0$ serían las dos semirrectas exteriores). Por tanto

   $f(x)=a(x+1)(x-5),\qquad a>0.$

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   Usar la simetría para localizar el vértice sin completar el cuadrado. En una parábola que abre hacia arriba, el mínimo está justo a la mitad entre las raíces:

   $x_{\text{vértice}}=\frac{-1+5}{2}=2.$

   Es el único lugar donde puede darse el valor mínimo indicado.

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   Convertir el valor mínimo en una ecuación para $a$.

   $f(2)=a(2+1)(2-5)=-9a$

   $-9a=-18\quad\Longrightarrow\quad a=2$

   La comprobación de signo funciona: $a=2>0$, coherente con la apertura hacia arriba deducida en el paso 1. Así que

   $f(x)=2(x+1)(x-5)=2x^2-8x-10.$

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   Resolver $f(x)\le 6$. Se pasa todo a un miembro y se divide entre el coeficiente principal positivo (dividir entre un número positivo no invierte la desigualdad):

   $2x^2-8x-10\le6\;\Longrightarrow\;2x^2-8x-16\le0\;\Longrightarrow\;x^2-4x-8\le0.$

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   Hallar las raíces de la ecuación frontera y elegir el lado correcto.

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt3}{2}=2\pm2\sqrt3$

   Como $x^2-4x-8$ abre hacia arriba, es $\le0$ entre sus raíces:

   $2-2\sqrt3\le x\le 2+2\sqrt3\qquad(\text{aproximadamente }-1.464\le x\le5.464).$

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   Contrastar la respuesta con los datos del enunciado. El nuevo intervalo está centrado en $x=2$, el mismo eje de simetría, y contiene estrictamente a $[-1,5]$ — tiene que ser así, porque el nivel $6$ está por encima del nivel $0$ en una parábola que abre hacia arriba. Al sustituir el extremo: $f\left(2+2\sqrt3\right)=2\left(3+2\sqrt3\right)\left(-3+2\sqrt3\right)=2\left(12-9\right)=6$, exactamente el valor frontera.