Resuelve la ecuación √(2x + 1) = x - 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Fija el dominio antes de elevar al cuadrado. El miembro izquierdo es una raíz cuadrada principal, así que es $\ge 0$; por lo tanto el derecho también debe ser $\ge 0$, lo que da $x \ge 1$. El radicando exige $2x + 1 \ge 0$, es decir $x \ge -\tfrac12$, que es más débil. La condición que manda es

   $x \ge 1$

   Elevar al cuadrado no es reversible, así que esta condición es lo único que separará después las soluciones reales de los artefactos.

2. 2

   Eleva al cuadrado los dos miembros.

   $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

3. 3

   Agrupa y factoriza.

   $0 = x^2 - 4x = x(x-4) \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \ \text{o}\ x = 4$

   El $1$ constante se canceló en los dos miembros, y por eso la ecuación de segundo grado factoriza tan limpiamente.

4. 4

   Prueba los dos candidatos frente al dominio y a la ecuación original. $x = 0$ incumple $x \ge 1$; sustituyéndolo de todos modos da $\sqrt{1} = 1$ en el miembro izquierdo pero $0 - 1 = -1$ en el derecho, así que es extraña — solo resuelve la ecuación elevada al cuadrado. Para $x = 4$: $\sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3$ y $4 - 1 = 3$. Funciona.

5. 5

   Enuncia la solución.

   $x = 4$

   Geométricamente, la curva $y = \sqrt{2x+1}$ y la recta $y = x - 1$ se cortan exactamente una vez, en $(4,3)$; el punto $x = 0$ es donde la recta se encuentra con la rama reflejada $y = -\sqrt{2x+1}$, que al elevar al cuadrado quedó incorporada en silencio.