La gráfica muestra el sistema y = 2/(x − 2) − 1 e y = 2|x − 2| − 4. ¿Cuál conjunto de puntos es la solución completa: (4,0); (0,0) y (4,0); (0,0), (0,−2) y (4,0); o (0,−2) y (4,0)?

Step-by-step solution

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   Sustituir u = x − 2 para aprovechar el desplazamiento común. Las dos curvas están construidas alrededor de $x=2$, así que la sustitución lo elimina de ambas:

   $\frac{2}{u}-1=2|u|-4\quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{u}+3=2|u|,\qquad u\neq 0.$

   La restricción $u\neq 0$ (es decir, $x\neq 2$) proviene de la asíntota vertical de la primera curva.

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   Separar según el signo de u: caso u > 0. Entonces $|u|=u$, y multiplicar todo por $u>0$ deja la ecuación intacta:

   $2+3u=2u^{2}\ \Longrightarrow\ 2u^{2}-3u-2=0\ \Longrightarrow\ (2u+1)(u-2)=0.$

   Las raíces son $u=2$ y $u=-\tfrac12$; solo $u=2$ cumple $u>0$, y da $x=4$.

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   Caso u < 0. Entonces $|u|=-u$, y multiplicar por el $u$ negativo no invierte nada en una ecuación:

   $2+3u=-2u^{2}\ \Longrightarrow\ 2u^{2}+3u+2=0.$

   Su discriminante es $9-16=-7<0$, así que no hay raíz real y este caso no aporta nada.

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   Hallar el valor de y de la solución que sobrevive. En $x=4$:

   $y=\frac{2}{4-2}-1=1-1=0,\qquad y=2|4-2|-4=4-4=0.$

   Las dos curvas dan $y=0$, así que $(4,0)$ está genuinamente en ambas.

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   Probar los puntos distractores. En $x=0$: la primera curva da $y=\tfrac{2}{-2}-1=-2$, mientras que la segunda da $y=2(2)-4=0$. Así que $(0,0)$ está solo en la gráfica del valor absoluto y $(0,-2)$ solo en la gráfica racional: ninguno es solución del sistema. Esa es justamente la trampa: un punto que está en una curva no es solución a menos que esté en las dos.

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   Enunciar la solución completa. El sistema tiene exactamente una solución, $(4,0)$.