Dado 3x + y = 1, halla el mayor valor de m para el que y/x + 1/y ≤ m se cumple siempre.

Step-by-step solution

1. 1

   Reduce a una sola variable usando la restricción. De $3x + y = 1$ se obtiene $y = 1 - 3x$, así que la expresión pasa a ser una función solo de $x$:

   $f(x) = \frac{1-3x}{x} + \frac{1}{1-3x} = \frac{1}{x} - 3 + \frac{1}{1-3x}$

   La reescritura $\frac{1-3x}{x} = \frac1x - 3$ es la que deja a la vista los dos polos por separado.

2. 2

   Anota el dominio. Los dos denominadores deben ser no nulos:

   $x \ne 0 \quad \text{y} \quad y = 1 - 3x \ne 0 \ \Longrightarrow \ x \ne \tfrac13$

   Así que el dominio es $\mathbb{R} \setminus \left\{0, \tfrac13\right\}$, y el punto excluido $x = \tfrac13$ es exactamente donde estará el problema.

3. 3

   Examina el comportamiento cerca del polo x = 1/3. Cuando $x \to \tfrac13^-$ se tiene $1 - 3x \to 0^+$, de donde

   $\frac{1}{1-3x} \to +\infty, \qquad \text{mientras que} \quad \frac1x - 3 \to 3 - 3 = 0$

   El primer término se dispara y el resto se mantiene acotado, así que $f(x) \to +\infty$.

4. 4

   Confírmalo con valores explícitos. Tomando $x$ cada vez más cerca de $\tfrac13$ por la izquierda:

   $x = 0.33 \Rightarrow f = 100.03, \qquad x = 0.333 \Rightarrow f = 1000.003, \qquad x = 0.33333 \Rightarrow f \approx 10^{5}$

   Se supera cualquier valor objetivo, así que la expresión no tiene cota superior. (Algo parecido ocurre cuando $x \to 0^-$, donde no se cumple $\tfrac1x \to +\infty$ —allí $f \to -\infty$—, pero basta con una dirección divergente.)

5. 5

   Concluye que no existe un m máximo. Para que $\frac{y}{x} + \frac1y \le m$ se cumpla para todos los $x, y$ admisibles, haría falta $m \ge \sup f = +\infty$. Ningún número real satisface eso, de modo que:

   $\sup_{3x+y=1} \left(\frac{y}{x} + \frac{1}{y}\right) = +\infty, \qquad \text{no existe un } m \text{ máximo}$

   Si el problema pretendía incluir restricciones de signo adicionales como $x > 0,\ y > 0$, observa que el polo en $x = \tfrac13^-$ sigue estando dentro de esa región, así que allí la expresión tampoco está acotada y la conclusión no cambia.